线性代数基础之矩阵(1)

1. 矩阵的运算
2. 方阵

【定义1】 由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$ 有序地排成 $m$ 行 $n$ 列的数表
\begin{align}
\left(\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \
\end{matrix}\right)
\end{align} 称为一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，简记为 $(a_{ij})_{m\times n}$

如果两个矩阵有相同的行数和列数，则称他们是 同型的
如果两个同型矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij}){m\times n}$、$\mathbf{B}=(b{ij}){m\times n}$ 的对应元素相同，即
$$ a{ij} = b_{ij}, \hskip 2em i=1,2,\cdots,m; \hskip .5em j=1,2,\cdots, n$$
则称矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 相等，记作 $\mathbf{A}=\mathbf{B}$

矩阵的运算

矩阵的加法和减法

【定义2】 设有两个同型的矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij}){m\times n},\mathbf{B}=(b{ij}){m\times n}$，则矩阵
\begin{align}
\mathbf{C}&=(c{ij}){m\times n}=(a{ij}+b_{ij}){m\times n} \
&=\left(\begin{matrix}
a{11}+b_{11} & a_{11}+b_{11} & \cdots & a_{11}+b_{1n} \
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{m1}+b_{11} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \
\end{matrix}\right)
\end{align} 称为矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{A}$ 的和，记为 $\mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}$

矩阵加法的性质

交换律：$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}$
结合律：$(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})$
加法零元 $\mathbf{O}$：$\mathbf{A}+\mathbf{O}=\mathbf{O}$

矩阵的数乘

【定义3】 矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij}){m\times n}$，$\lambda$ 为常数，则矩阵 $(\lambda a{ij}){m\times n}$ 称为数 $\lambda$ 与矩阵 $\mathbf{A}$ 的乘积（简称数乘），记为 $\lambda \mathbf{A}$，即
\begin{align}
\lambda\mathbf{A} = (\lambda a{ij}){m\times n} = \left(\begin{matrix}
\lambda a{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n} \
\lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
\lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn} \
\end{matrix}\right)
\end{align}

矩阵数乘的性质

交换律及结合律：$(\lambda\mu)\mathbf{A}=\lambda(\mu\mathbf{A})=\mu(\lambda\mathbf{A})$
分配率：$\lambda(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\lambda\mathbf{A}+\lambda\mathbf{B}$，$(\lambda+\mu)\mathbf{A}=\lambda\mathbf{A}+\mu\mathbf{A}$
乘法零元：$1\cdot\mathbf{A}=\mathbf{A}$，$(-1)\cdot \mathbf{A}=-\mathbf{A}$

矩阵乘法

【定义4】 设矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij}){m\times t}$，$\mathbf{B}=(b{ij}){t\times n}$，称 $\mathbf{C}=(c{ij}){m\times n}$ 是 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 的乘积，若
\begin{align}
\mathbf{C} = \mathbf{A}\mathbf{B} = \left(\begin{matrix}
a{11} & a_{12} & \cdots & a_{1t} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2t} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mt} \
\end{matrix}\right){m\times t}
\left(\begin{matrix}
b{11} & b_{12} & \cdots & b_{1s} \
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2s} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
b_{t1} & b_{t2} & \cdots & b_{ts} \
\end{matrix}\right){t\times s}
= \sum{i=1}^m\sum_{j=1}^n\sum_{k=1}^t a_{ik}b_{kj}
\end{align}

矩阵乘法的性质

结合律：$(\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C})$
分配率：$\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{A}\mathbf{C}$，$(\mathbf{B}+\mathbf{C})\mathbf{A}=\mathbf{B}\mathbf{A}+\mathbf{C}\mathbf{A}$
$(\lambda\mathbf{A})\mathbf{B}=\mathbf{A}(\lambda\mathbf{B})=\lambda(\mathbf{A}\mathbf{B})$（其中 $\lambda$ 为常数）

矩阵的转置

【定义5】 $\mathbf A^T$ 为矩阵 $\mathbf A$ 的转置矩阵，若
\begin{align}
A=\left(\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \
\end{matrix}\right){m\times n}
, \hskip 1em
\mathbf A^T=\left(\begin{matrix}
a{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nm} \
\end{matrix}\right)_{n\times m}
\end{align}

矩阵转置的性质

$(\mathbf A^T)^T=\mathbf A$
$(\mathbf A\pm\mathbf B)^T=\mathbf A^T\pm\mathbf B^T$
$(\lambda\mathbf A)^T=\lambda\mathbf A$
$(\mathbf A\mathbf B)^T=\mathbf B^T\mathbf A^T$
$(\mathbf A_1\mathbf A_2\cdots\mathbf A_m)^T=\mathbf A_m^T\mathbf A_{m-1}^T\cdots A_1^T$

方阵

若 $m=n$，则称矩阵 $\mathbf A_{m\times n}$ 为 $n$ 阶方阵

方阵的性质

方阵 $\mathbf A$ 构成的行列式记为 $|\mathbf A|$ 或 $\det(\mathbf A)$

$\mathbf A^m=\mathbf A\cdot\mathbf A\cdot \dotsc \cdot\mathbf A$
$|\lambda\mathbf A|=\lambda^n|\mathbf A|$
$|\mathbf A\mathbf B|=|\mathbf A||\mathbf B|$
$|\mathbf A^m|=|\mathbf A|^m$
其中，$\mathbf A$ 和 $\mathbf B$ 均为 $n$ 阶方阵，$\lambda$ 为常数，$m,n$ 为正整数
n 阶单位方阵
若 $n$ 阶方阵 $\mathbf E_n$ 主对角线上的元素全为 1，且其余元素全为 0；则称 $E_n$ 为 $n$ 阶单位矩阵，即
\begin{align}
\mathbf E_n=\left(\begin{matrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \
0 & 1 & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & 0 & 1 \
\end{matrix}\right)_{n\times n}
\end{align}
单位方阵的性质
若 $\mathbf A(m\times n)$ 为 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，$E_m$ 和 $E_n$ 分别为 $m$ 阶和 $n$ 阶单位方阵
$\mathbf A_{m\times n}E_n=\mathbf A_{m\times n}$
$E_m\mathbf A_{m\times n}=\mathbf A_{m\times n}$

对角矩阵

\begin{align}
\left(\begin{matrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \
0 & a_{22} & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix}\right)_{n\times n}
\end{align}

三角形矩阵

\begin{align}
\begin{matrix}
\left(\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
0 & a_{22} & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix}\right){n\times n}
& \text{或} &
\left(\begin{matrix}
a{11} & a_{12} & \cdots & 0 \
a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix}\right)_{n\times n}
\\ \color{purple}{上三角矩形} & \hskip 0em & \color{purple}{下三角矩形}
\end{matrix}
\end{align}

对称矩阵

\begin{align}
\left(\bcancel{\begin{matrix}
\nvdash
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
\hdashline
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix}}\right)
\end{align}

反对称矩阵

\begin{align}
\left(\begin{matrix}
\end{matrix}\right)
\end{align}