逆序数
【定义1】 $n$ 级排列 $i_1i_2\cdots i_n$ 的逆序数记为 $\tau(i_1i_2\cdots i_n)$。
比如，$\tau(123)=0$，而 $\tau(321)=3$，因为 32,31,21 是逆序，共 3 对。
- 若 $\tau(i_1i_2\cdots i_n) \equiv 0\mod 2$ 则称为 偶排列；否则称为 奇排列
【定理1】 若互换排列 $i_1i_2\cdots i_n$ 中两个数 $i_x$ 和 $i_y$ 的位置（不妨假设 $x<y$），则
$$\tau(i_1i_2\cdots i_x\cdots i_y\cdots i_n) \not\equiv \tau(i_1i_2\cdots i_y\cdots i_x\cdots i_n) \mod 2 \tag{1}$$
- 当 $y=x+1$ 时，也就是相邻两个数进行对换，由于和其它数的相对顺序没有发生改变；此时 定理1 成立
- 当 $y=x+k$ （其中 $k>1$ 且 $k \in Z^+$）时，可以理解成：
- $i_y$ 先和 $i_{y-1}$ 交换，随之和 $i_{y-2}$ 交换，直到和 $i_{x}$ 交换，此时 $i_y$ 一共发生了 $y-x$ 次交换，且 $i_x$ 位于交换前 $i_{x+1}$ 的位置
- 然后 $i_x$ 和 $i_{x+1}$ 交换，直到和 $i_{y-1}$ 交换，一共交换了 $y-1-x$ 次
不难发现这样交换的结果和直接让 $i_x$ 和 $i_y$ 交换是一样的，相当于进行了 $(y-x)+(y-1-x)=2\times(y-x)-1$ 次相邻交换，而每次相邻交换 $\tau$ 的奇偶性都会发生改变（前述已经证明），故等价于 $(2\times(y-x)-1)\mod 2$ 次相邻交换
综上，即可证明 定理1
n 阶行列式
【定义2】 设 $n(\geqslant 2)$ 为自然数，由 $n^2$ 个数 $a_{ij}(i,j=1,2,\cdots,n)$ 组成的记号
\begin{align}
D=\left| \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix} \right|
\end{align}
称为一个 $n$ 阶行列式，其中 $a_{ij}$ 称为第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
行列式的值等于所有取值不同行不同列的 $n$ 个元素乘积的代数和：
$$D=\sum_{(j_1j_2\cdots j_n)} (-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} \tag{2}$$
其中，$j_1j_2\cdots j_n$ 为 $n$ 级排列，$\sum_{(j_1j_2\cdots j_n)}$ 表示对所有的 $n$ 级排列求和。
【定理2】 式(2) 也可以写成
$$D=\sum_{(j_1j_2\cdots j_n)} (-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)} a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}\cdots a_{i_nj_n} \tag{3}$$
将 $a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}\cdots a_{i_nj_n}$ 重排成 $a_{1j’1}a{2j’2}\cdots a{nj’_n}$。
该过程可以认为是发生了若干次交换；而每发生一次交换，排列 $i_1i_2\cdots i_n$ 和 $j_1j_2\cdots j_n$ 同时发生一次交换，而由 定理1 可知，每次交换，$\tau$ 的奇偶性就会发生改变，故 $\tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)$ 的奇偶性不会改变。
于是不难有 $$(-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)+\tau(j_1j_2\cdots j_n)} = (-1)^{\tau(12\cdots n)+\tau(j’_1j’_2\cdots j’_n)} = (-1)^{\tau(j’_1j’_2\cdots j’_n)}$$
由乘法交换律和加法交换律即可证明 定理2 的正确性
【推论1】
$$D=\sum_{(j_1j_2\cdots j_n)} (-1)^{\tau(i_1i_2\cdots i_n)} a_{i_11}a_{i_22}\cdots a_{i_nn} \tag{3-1}$$
行列式的性质
【性质1】 将 $n$ 阶行列式 $D$ 的行和列互换，其值不变。即若
\begin{align}
D=\left| \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix} \right|
\text{，}\hskip 2em
D^T=\left| \begin{matrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix} \right|
\end{align}
则 $D=D^T$，且称 $D^T$ 为行列式 $D$ 的 转置。
【性质2】 互换 $n$ 阶行列式的任意两行（列），行列式仅改变符号，即
\begin{align}
\left| \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix} \right|
= -\left| \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix} \right|
\end{align}
【推论2】 若行列式中某两行（列）的元素对应相等，则行列式为 0
【性质3】 行列式的某一行（列）的所有元素同乘以一个数 $\lambda$，等于以 $\lambda$ 乘以这整个行列式，即
\begin{align}
\left| \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
\lambda a_{i1} & \lambda a_{i2} & \cdots & \lambda a_{in} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix} \right|
= \lambda\left| \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix} \right|
\end{align}
【推论3】 若行列式中某两行（列）的元素对应成比例，则行列式为 0
【推论4】 若行列式中某行（列）的元素全为 0，则该行列式为 0
【性质4】 若行列式的某行（列）的各元素是两个数之和，则该行列式等于两个行列式之和，而这两个行列式除了这一行（列）以外，与原行列式的对应行（列）一样，即
\begin{align}
\left| \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{i1}+a’{i1} & a{i2}+a’{i2} & \cdots & a{in}+a’{in} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix} \right|
=
\left| \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix} \right|
+
\left| \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a’{i1} & a’{i2} & \cdots & a’{in} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix} \right|
\end{align}
【性质5】 若行列式的某行（列）的各元素乘以 $\lambda$ 后，加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变，即
\begin{align}
\left| \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix} \right|
= \left| \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{k1}+\lambda a_{i_1} & a_{k2}+\lambda a_{i_2} & \cdots & a_{kn}+\lambda a_{i_n} \
\vdots & \vdots & & \vdots \
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix} \right|
\end{align}
行列式的计算
拉普拉斯展开定理
【定义3】（余子式） 在 $n$ 阶行列式中，把元素 $a_{ij}(i,j=1,2,\cdots,n)$ 所在的行和列划去后，剩下的 $(n-1)^2$ 个元素按原来的顺序构成的 $n-1$ 阶行列式
\begin{align}
\left| \begin{matrix}
a_{11} & \cdots & a_{i,j-1} & a_{i,j+1} & \cdots & a_{1n} \
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \
a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,,j-1} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n} \
a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,,j-1} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n} \
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \
a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix} \right|
\end{align}
称为元素 $a_{ij}$ 的 余子式，记作 $M_{ij}$；
余子式带上符号 $(-1)^{i+j}$ 称为 $a_{ij}$ 的 代数余子式，记作 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
【定理3】 （拉普拉斯(Laplace)展开定理） $n$ 阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
\begin{align}
D=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}, \hskip 2em i=1,2,3,\cdots,n \tag{4-1} \
D=\sum_{k=1}^n a_{kj}A_{kj}, \hskip 2em j=1,2,3,\cdots,n \tag{4-2} \
\end{align}
- 当 $n=1,2$ 时定理显然成立
- 当 $n>2$ 时（方便起见，用 $n$ 维向量来证明，仅用到向量的定义和向量的点乘），为区分行列式符号及行列式值，以下使用 $\det D$ 表示行列式 $D$ 的值
记 $e_i=(\overbrace{0,0,\cdots}^{i-1\text{个}0},1,\underbrace{\cdots,0}{n-i\text{个}0})^T$，$a_i=a{11}e_1+a_{21}e_2+\cdots+a_{n1}e_n$
- 【引理3-1】 若 $a_1=e_1$，则 $\det D=\det M_{11}$
- 由于 $a_{11}=1,a_{1k}=0,k\neq 1$；结合 式2 有，
\begin{align}
\det D&=\sum_{(j_1j_2\cdots j_n)} (-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} \
&=a_{11}\sum_{(j_2\cdots j_n)} (-1)^{\tau(j_2\cdots j_n)} a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}
= \det M_{11} \
\end{align}
- 由于 $a_{11}=1,a_{1k}=0,k\neq 1$；结合 式2 有，
- 【推论】 若 $a_j=e_i$，则 $\det D=(-1)^{i+j}\det M_{ij}$
- 仅需将行列式第 $j$ 列往左不断与相邻列往换，直至到达第一列（共计 $j-1$ 次交换）；再将第 $i$ 行往上不断与相邻行交换，直至到达第一行（共计 $i-1$ 次交换），此时得到行列式记为 $D’$。
根据上述交换规则人，不难发现，$M’{11}=M{11}$。
显然，$D’$ 的第一列 $a’1=e_1$，由 引理3-1 可知，$\det D’=\det M’{11} = \det M_{11}$。
由行列式的 性质2 可知，$\det D’=(-1)^{j-1+i-1}\det D=(-1)^{i+j}\det D$
故 $\det D = (-1)^{i+j}\det D’ = (-1)^{i+j}\det M_{11}$
- 仅需将行列式第 $j$ 列往左不断与相邻列往换，直至到达第一列（共计 $j-1$ 次交换）；再将第 $i$ 行往上不断与相邻行交换，直至到达第一行（共计 $i-1$ 次交换），此时得到行列式记为 $D’$。
因为 $\det D=\det (a_1,a_2,\cdots,a_n)=\det (a_{11}e_1+\cdots+a_{n1}e_n,\cdots,a_{1n}e_1+\cdots+a_{nn}e_n)$
由行列式的 性质3 和 性质4 以及 推论 可知：
\begin{align}
\det D &= \det (a_{11}e_1+\cdots+a_{n1}e_n,a_2,a_3,\cdots,a_n) \
&= a_{11}\det(e_1,a_2,\cdots,a_n)+a_{21}\det(e_2,a_2,\cdots,a_n)+\cdots+a_{n1}\det(e_n,a_2,\cdots,a_n) \
&= \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} a_{i1}\det M_{i1} = \sum_{i=1}^n a_{i1}\det A_{i1}
\end{align}
同理可证 式4-1、式4-2 成立
【定理4】 $n$ 阶行列式的任一行（列）的各元素与另外一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于 0，即
$$\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk}=0 \hskip 1em \text{或} \hskip 1em \sum_{k=1}^n a_{ki}A_{kj}=0, \hskip 2em i\neq j \tag{5}$$
克拉默法则
【定理5】 （克拉默法则） 如果含有 $n$ 个方程的 $n$ 元线性方程组
\begin{align}
\left\lbrace \begin{aligned}
&a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n = b_1 \
&a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n = b_2 \
&\hskip 3em \cdots\cdots \
&a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n = b_n \
\end{aligned} \right.
\tag{6}
\end{align}
的系数行列式
\begin{align}
D = \left| \begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix} \right |
\neq 0
\end{align}
则 线性方程组(6) 有唯一解，且其解为
$$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots,x_n=\frac{D_n}{D} \tag{7}$$
其中 $D_j(j=1,2,\cdots,n)$ 是用常数项 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 代替系数矩阵 $D$ 中第 $j$ 列对应元素得到的 $n$ 阶行列式，即
\begin{align}
D_j = \left| \begin{matrix}
a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & b_1 & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & \cdots & a_{2,j-1} & b_2 & a_{2,j+1} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \
a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & b_n & a_{n,j+1} & \cdots & a_{nn} \
\end{matrix} \right |
\end{align}
- 首先证明 式7 是 方程组6 的解
由 拉普拉斯展开定理 $D_j$ 按第 $j$ 展开得 $\displaystyle D_j=\sum_{k=1}^n b_kA_{kj}$
将 式7 代入 方程组6 的第 $i(i=1,2,\cdots n)$ 个方程，得
\begin{align}
& a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\cdots+a_{in}x_n \
=& \sum_{j=1}^n a_{ij}x_j = \sum_{j=1}^n a_{ij}\frac{D_j}{D} \
=& \frac{1}{D} \sum_{j=1}^n a_{ij}\left(\sum_{k=1}^n b_kA_{kj}\right)
= \frac{1}{D} \sum_{k=1}^n b_k\left(\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{kj}\right) \tag{加法交换律} \
=& \frac{b_i}{D} \sum_{j=1}^n a_{ij}A_{kj} = \frac{b_i}{D}\cdot D=b_i \tag{定理4} \
\end{align}- 再证明解的唯一性
若 $x’1,x’2,\cdots,x’n$ 是 方程组6 的一组不同于 式7 的解；
用行列式 $D$ 的第 $j$ 列各元素的代数余子式 $A{1j},A{2j},\cdots,A{nj}$ 分别乘以 方程组6 的第 1 个，第 2 个，$\cdots$，第 $n$ 个方程，并相加，得：
\begin{align}
& \left(\sum_{k=1}^n a_{k1}A_{kj}\right)x’1 + \cdots + \left(\sum{k=1}^n a_{kj}A_{kj}\right)x’j + \cdots + \left(\sum{k=1}^n a_{kn}A_{kj}\right)x’n \
=& A{kj} \sum_{i=1}^n\left(\sum_{k=1}^n a_{ki}\right)x’i
= A{kj} \sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^n a_{ki}x’i
= A{kj} \sum_{k=1}^n b_k \
\end{align} 由 定理3 和 定理4 得 $$Dx’_j=D_j, \hskip 1em j=1,2,\cdots,n$$
由于 $D\neq 0$，故 $x’_j=\frac{D_j}{D}=x_j (j=1,2,\cdots,n)$，这与 式7 相同。
Hint
参考文献：
- 湖南大学 大学数学 3（2009 年 2 月 第 2 版）
参考链接： - 线性代数(二十四) ： 行列式的展开式—拉普拉斯公式
